Piotr Cieśliński

Kiedy jedziemy przez most, musimy ufać w to, że inżynier sprawdził jego wytrzymałość. Inżynier w swoich obliczeniach zaufał prawom fizyki. Fizycy, odkrywając prawa przyrody, korzystali z zasad matematyki. A matematycy? Używają wyłącznie swej wyobraźni i nie zastanawiają się, czy ich prawa pasują do realnego świata, tego za oknem. Skąd więc wiadomo, że most wytrzyma? Bo świat po prostu jest matematyczny. Oto przykłady.

Jak pstryknąć i nie mrugnąć

Za moich szkolnych czasów na koniec semestru nasza klasa robiła sobie pamiątkowe zdjęcia. Przeglądałem je niedawno i zdumiało mnie, że niemal na każdym ktoś miał zamknięte oczy. Pechowo musiał mrugnąć akurat wtedy, kiedy otwierała się migawka aparatu. Okazuje się, że to problem, który nęka fotografów na całym świecie. - Często robię zbiorowe fotografie, niemal zawsze ktoś mruga - mówi australijska dziennikarka Nic Svenson. - Zaczęłam sprawdzać, ile muszę wykonać ujęć, żeby choć na jednej fotografii trafili się wszyscy z otwartymi oczami. Ale to trwało bez końca i nie układało się w żadną sensowną prawidłowość.

Svenson zwróciła się więc do profesjonalisty - matematyka dr. Piersa Barnesa z organizacji badań naukowych i przemysłowych CSIRO. Ten od razu powiedział, że w grę wchodzi rachunek prawdopodobieństwa. To oznacza, że matematyka nie da całkowitej pewności, iż na zdjęciu nikt nie mrugnie, ale może ustalić, jak często trzeba podejmować próby, żeby choć jedna była udana - powiedzmy - w 99 proc. przypadków (a więc w języku zwykłych ludzi - prawie zawsze). Matematyczny model musiał uwzględnić pewne empiryczne dane, ale nietrudno było je zdobyć. Osoba ustawiona do fotografii mruga średnio dziesięć razy na minutę, opuszczenie powieki trwa średnio 250 milisekund, a przy dobrym oświetleniu migawka otwarta jest przez mniej więcej osiem milisekund

Wygodnie było założyć, że mrugnięcia są niezależne od siebie, a więc jedno mrugnięcie nie wpływa na drugie. Zauważmy, że gdyby w grę wchodziły ziewnięcia, to takie założenie byłoby fałszywe, bo wiadomo, że ziewanie bywa zaraźliwe. Drugie założenie mówi, że mrugamy w sposób losowy, a więc nie np. dokładnie co 15 sekund. Wzór ułożony przez dr. Piersa mówi, że jeśli chcemy wykonać fotografię grupie ponad 50-osobowej, to nawet przy najlepszym świetle, kiedy migawka odsłania się na najkrótszą możliwą chwilę, niemal zawsze trafi się ktoś z zamkniętymi oczami. Nie warto próbować i się złościć, trzeba się pogodzić z porażką.

Do sfotografowania 30 osób w złym świetle potrzeba aż 30 zdjęć, by wyłowić to jedno dobre. Wobec grup mniej licznych niż 20 osób prawo Barnesa sprowadza się do bardzo prostej reguły. Jeśli jest dobre oświetlenie, to liczbę zdjęć uzyskamy, dzieląc liczbę osób przez trzy (a więc 18 osobom pstrykamy sześć zdjęć, by dostać takie, na którym nikt nie ma zamkniętych oczu). W złym świetle trzeba dzielić przez dwa. Za rozwiązanie problemu Svenson i Barnes dostali dwa lata temu nagrodę Ig-Nobla z matematyki. Te laury wręczane są co roku na Uniwersytecie Harvarda za dokonania, które "zrazu wywołują śmiech, ale po chwili zmuszają do refleksji", a patronuje im redakcja pisma "Annals of Improbable Research", czyli "Roczników Badań Nieprawdopodobnych".

Jak zawiązać krawat

Niemal codziennie mężczyźni stają przed lustrem i próbują zawiązać krawat. Zwykle mruczą bezradnie: jak, do diabła, robi to żona? Nie wiedzą, że problem węzłów pod szyją został całkiem niedawno rozwiązany, przynajmniej teoretycznie. Fizycy z Laboratorium Cavendisha Uniwersytetu Cambridge stworzyli matematyczny model wiązania krawatów. Nie tylko wyliczyli, dlaczego krawaty są wiązane, jak to się przyjęło tradycyjnie robić, ale znaleźli również nowe sposoby ich supłania!

Okazało się, że zawiązywanie krawata można przedstawić - z matematycznego punktu widzenia - jako poruszanie się po węzłach trójkątnej sieci. Laikowi może wydawać się, że przez to rozwiązanie zadanie wcale nie posunęło się do przodu. Nieprawda. Skakanie po węzłach sieci jest problemem doskonale znanym matematyce, gdyż w ten sposób od dawna rozważa się uproszczone sytuacje występujące w naturze. Naukowcy mogli więc posłużyć się gotowymi wzorami, które opisują "błądzenie przypadkowe" (jak fachowo nazywają to matematycy) po trójkątnej sieci. Z tym że to błądzenie, które odpowiada wiązaniu krawata, nie jest tak do końca przypadkowe. Przede wszystkim składa się z ograniczonej liczby kroków. Naukowcy ustalili, że ze względu na typową długość krawata lepiej nie robić węzłów, przy których wiązaniu wykonuje się więcej niż dziewięć ruchów. Teoretycznie można tak zasupłać aż 85 różnych węzłów.

Nie wszystkie jednak są do przyjęcia. Większość nie wygląda dobrze, gdyż jest niesymetryczna, zbyt gruba albo za wąska. Istotna jest też kwestia stabilności węzła. Czy będzie mocno spleciony i dobrze trzymał kształt? Aby tak się stało, ruchy szerszym i węższym końcem krawata muszą być jak najlepiej ze sobą przemieszane. Biorąc pod uwagę wszystkie kwestie wyglądu i trwałości (przełożone na matematyczne wzory), badacze znaleźli i umieścili w tabeli opublikowanej w piśmie "Nature" komplet 10 sposobów supłania "najbardziej estetycznych" węzłów krawata.

Cztery z nich są powszechnie znane i stosowane na całym świecie, w tym jako ostatni wprowadzony do mody w 1989 r. węzeł Pratta. Ale sześć węzłów to były nowinki, jeszcze nieodkryte przez dyktatorów mody. "Nie czekając na wolny postęp wmęskiej elegancji, bardziej formalnie podeszliśmy do problemu i wprowadziliśmy sześć nowych, przyjemnych dla oka węzłów" - pisali naukowcy w "Nature".

Jak z głową fałszować PIT

Jeśli chcesz oszukać fiskusa, a nie znasz matematyki, stoisz na straconej pozycji. Zapewne nie wiesz, że zdecydowana większość liczb, które trafiają do uczciwych zeznań podatkowych czy ksiąg finansowych, zaczyna się od cyfr 1 lub 2. Jeśli tak nie jest, to fiskus ma prawo podejrzewać, że coś w nich nie gra. I nie potrzebuje do tego mozolnego śledztwa czy weryfikacji twoich danych, faktur i kwitków. Tą tajemniczą prawidłowość z cyframi dostrzegł przypadkowo w latach 30. zeszłego wieku dr Frank Benford, kiedy przeglądał w bibliotece tabele logarytmów. Zauważył, iż strony z logarytmami, które odpowiadają liczbom zaczynającym się od 1, są dużo bardziej wytarte, a to znaczy też, że częściej przeglądane. Doszedł do wniosku, że fizycy i inżynierowie posługujący się tymi tabelami częściej mają do czynienia z danymi, w których na pierwszym miejscu występuje "1".

Sprawdził tę hipotezę - mozolnie przeglądał liczby w blisko 20 różnych tabelach z geograficznymi i naukowymi danymi. Badał także np. wszystkie liczby wydrukowane w jednym z numerów miesięcznika "Reader's Digest". I odkrył, że wszędzie aż 30 proc. liczb zaczynało się od cyfry 1, 20 proc. - od cyfry 2, a tylko 5 proc. - od 9. Okazuje się, że cyfry 1 i 2 dużo częściej niż inne stoją na czele liczb we wszelkiego rodzaju tabelarycznych danych, także sprawozdaniach księgowych i zeznaniach podatkowych. I to niezależnie od tego, w jakich jednostkach są umieszczane te dane -metrach,procentach, dolarach, złotówkach etc. Ścisły matematyczny dowód tego faktu podał Theodore Hill w 1995 r. A laikowi zwykle się wydaje, że wszystkie cyfry występują w przyrodzie równie często. Audytorzy i rewidenci już od lat stosują prawo Benforda, by wykrywać anomalie i oszustwa w księgach handlowych

Czytaj także:

Towarzyskie sztuczki matematyczne

23%>30%?

Matematyka na maturze, praktyczne rady