edulandia.pl » matura >

Matura, testy maturalne, olimpiady - niezbędne informacje dla maturzystów

Karta wybranych wzorów i stałych matematycznych

WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:

Liczba |x| jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności:

Dla dowolnych liczb x, y mamy:

Dla dowolnych liczb a oraz r, gdzie r ³ 0, mamy warunki równoważne

POTĘGI I PIERWIASTKI

Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-tą potęgę:

Pierwiastkiem arytmetycznym

stopnia n liczby a ³ 0 nazywamy liczbę b ³ 0 taką, że:

W szczególności dla dowolnej liczby a zachodzi równość:

Jeżeli a<0 oraz liczba n jest nieparzysta, to

oznacza liczbę b<0 taką, że:

Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

---

Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:

Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a>0 i b>0, to zachodzą równości:

Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich

SYMBOL NEWTONA

Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych: n! = 1*2*3*...*n

Ponadto przyjmujemy umowę, że 0!=1

Dla dowolnej liczby całkowitej n ³ 0 zachodzi związek: (n+1)!=n!*(n+1)

---

Dla liczb całkowitych n,k spełniających warunki

definiujemy symbol Newtona:

Zachodzą równości:

DWUMIAN NEWTONA

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a,b mamy:

WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Z dwumianu Newtona dla n=2 oraz n=3 otrzymujemy dla dowolnych liczb a,b:

---

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a,b zachodzi wzór:

W szczególności:

CIĄGI

Ciąg arytmetyczny

Wzór a n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a₁i różnicy r:

Wzór na sumę

początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

Ciąg geometryczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q:

Wzór na sumę

początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:

Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitał końcowy K_n wyraża się wzorem:

Granica ciągu

---

Jeżeli (a_n), n ³ 1, jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie |q|<1, to ciąg sum jego początkowych wyrazów

ma granicę:

FUNKCJA KWADRATOWA

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:

pomocnej przy tworzeniu wykresu.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:

Ramiona paraboli są skierowane do góry gdy a>0, do dołu, gdy a<0.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczba pierwiastków równania

zależy od wyróżnika:

- jeżeli D<0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych)

- jeżeli D=0, to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek)

- jeżeli D>0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki):

Jeżeli D³0, to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:

Wzory Viéte'a:

LOGARYTMY

Niech a>0 i a¹1. Logarytmem log_ac liczby c>0 przy podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbą c:

Równoważnie:

Dla dowolnych liczb x>0, y>0 oraz r zachodzą wzory:

Wzór na zmianę podstawy logarytmu:

POCHODNA FUNKCJI

Pochodne niektórych funkcji:

gdzie r¹0, zaś a,b,c - dowolne liczby rzeczywiste.

Równanie stycznej

Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x₀, to równanie stycznej wykresu funkcji f w punkcie (x₀,f(x₀)) dane jest wzorem:

GEOMETRIA ANALITYCZNA

Odcinek

Długość odcinka o końcach w punktach

Wektory

Prosta

Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0,

gdzie A²+ B² ¹0 (tj. współczynniki A,B nie są równocześnie równe 0)

Jeżeli A=0, prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B=0, prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli C = 0, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych;

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe:
y = ax + b

Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej:
a=tga

Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina.

Równanie prostej, przechodzącej przez dwa dane punkty